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Bézout & Gauss
On donne $\textcolor{#caa7ff}{a = 5n^2 + 7}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b = n^2 + 2}$ avec $\textcolor{#caa7ff}{n}$ nombre entier naturel.
a) Déterminer une combinaison linéaire de $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ éliminant $\textcolor{#caa7ff}{n^2}$.
b) Démontrer que $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a;b)}$ est un diviseur de 3.
c) Montrer que, si le reste de la division euclidienne de $\textcolor{#caa7ff}{n}$ par $\textcolor{#caa7ff}{3}$ est $\textcolor{#caa7ff}{2}$, alors $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a;b) = 3}$.
d) Justifier par exemple que :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(5 \times 101^2 + 7; 101^2 + 2) = 3
}$$
a)
$$\textcolor{#caa7ff}{
5b - a
= 5(n^2 + 2) - (5n^2 + 7)
= 5n^2 + 10 - 5n^2 - 7
= \boxed{3}
}$$
b) $\textcolor{#caa7ff}{3}$ est une combinaison linéaire de $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$, donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
D(a;b) \subset D(3)
\text{ or }
PGCD(a;b) \in D(a;b)
\newline \text{donc} \quad
\boxed{PGCD(a;b) \in D(3)}
}$$
c)
$$\textcolor{#caa7ff}{
n \equiv 2 \pmod{3}
\iff
n^2 \equiv 4 \pmod{3}
\iff
5n^2 + 7 \equiv 27 \pmod{3}
\iff
a \equiv 0 \pmod{3}
\newline
\text{et}
\newline
n \equiv 2 \pmod{3}
\iff
n^2 \equiv 4 \pmod{3}
\iff
n^2 + 2 \equiv 6 \pmod{3}
\iff
b \equiv 0 \pmod{3}
}$$
Si le reste de la division euclidienne de $\textcolor{#caa7ff}{n}$ par $\textcolor{#caa7ff}{3}$ est $\textcolor{#caa7ff}{2}$, $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ sont divisibles par $\textcolor{#caa7ff}{3}$. On a donc :
$\textcolor{#caa7ff}{D(a;b) \subset D(3)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{3 \in D(a;b)}$, or $\textcolor{#caa7ff}{3}$ est le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(3)}$.
$\textcolor{#caa7ff}{3}$ est donc le plus grand élément de $\textcolor{#caa7ff}{D(a;b)}$.
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{PGCD(a;b) = 3}
}$$
d)
$$\textcolor{#caa7ff}{
101 \equiv 2 \pmod{3}
\Rightarrow
PGCD(5n^2 + 7;n^2 + 2) = 3 \quad \text{avec } n = 101
\newline \iff
\boxed{PGCD(5 \times 101^2 + 7; 101^2 + 2) = 3}
}$$